Маҳдудияти функсия чист

Дар ин нашрия мо яке аз мафҳумҳои асосии таҳлили математикиро - маҳдудияти функсия: таърифи он, инчунин ҳалли гуногунро бо мисолҳои амалӣ баррасӣ хоҳем кард.

Муайян кардани лимити функсия

Маҳдудияти функсия – арзише, ки арзиши ин функсия ба он майл дорад, вақте ки аргументи он ба нуқтаи маҳдудкунанда майл мекунад.

Сабти маҳдудият:

• лимити бо аломати нишон дода мешавад Лим;
• дар зер он илова карда мешавад, ки аргументи (тағйирёбанда) функсия ба кадом арзиш майл дорад. Одатан ин x, аммо на ҳатман, масалан:x→1″;
• пас худи функсия дар тарафи рост илова карда мешавад, масалан:

  

Ҳамин тариқ, сабти ниҳоии маҳдудият чунин аст (дар ҳолати мо):

лайк мехонад "маҳдудияти функсия ҳамчун x ба ягонагӣ майл дорад".

x→ 1 - ин маънои онро дорад, ки "х" пайваста арзишҳоеро ба худ мегирад, ки ба ягонагӣ беохир наздик мешаванд, аммо ҳеҷ гоҳ бо он мувофиқат намекунанд (ба он ноил намешаванд).

Маҳдудиятҳои қарор

Бо рақами додашуда

Биёед маҳдудияти болоро ҳал кунем. Барои ин, танҳо воҳидро дар функсия иваз кунед (зеро x→1):

Ҳамин тариқ, барои ҳалли маҳдудият, мо аввал кӯшиш мекунем, ки рақами додашударо ба функсияи поёни он иваз кунем (агар x ба рақами мушаххас майл дошта бошад).

Бо беохир

Дар ин ҳолат аргументи функсия беохир меафзояд, яъне, "X" ба беохир майл дорад (∞). Барои намуна:

If x→∞, он гоҳ функсияи додашуда ба беохирии минус (-∞) майл мекунад, зеро:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ва ғ.

Боз як мисоли мураккабтар

Барои ҳалли ин маҳдудият, инчунин, танҳо арзишҳоро зиёд кунед x ва ба «рафтор»-и функсия дар ин маврид нигаред.

• RџSЂРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Ҳамин тариқ, барои "X"майл ба беохир, вазифа x² + 3х – 6 беохир меафзояд.

Бо номуайянӣ (x майл ба беохир)

Дар ин маврид сухан дар бораи маҳдудият меравад, вақте ки функсия каср аст, шумора ва махраҷи онҳо полиномҳо мебошанд. Дар он чо "X" ба беохир майл дорад.

Намуна: лимити дар поён бударо хисоб мекунем.

ҳал

Иборахо дар хам шумора ва хам махрач ба беохир майл доранд. Тахмин кардан мумкин аст, ки дар ин ҳолат ҳалли зерин хоҳад буд:

Бо вуҷуди ин, на ҳама он қадар оддӣ. Барои ҳалли маҳдудият мо бояд амалҳои зеринро иҷро кунем:

1. Ёфт x ба қудрати баландтарин барои ҳисобкунанда (дар ҳолати мо, он ду аст).

2. Ба ҳамин монанд, мо муайян мекунем x ба қудрати баландтарин барои махраҷ (инчунин ба ду баробар).

3. Њоло њам шумора ва њам мањрро ба ќисмат таќсим мекунем x дар дарачаи олй. Дар мо, дар ҳарду ҳолат - дар дуюм, аммо агар онҳо фарқ мекарданд, мо бояд дараҷаи олиро гирем.

4. Дар натиҷаи натиҷа, ҳама касрҳо ба сифр майл доранд, бинобар ин ҷавоб 1/2 аст.

Бо номуайянӣ (x ба рақами мушаххас майл дорад)

Ҳам ҳисобкунанда ва ҳам махраҷ полиномҳо мебошанд, аммо, "X" ба шумораи муайян майл мекунад, на ба беохир.

Дар ин ҳолат мо шартан чашмонамонро ба он мепӯшем, ки маҳраҷ сифр аст.

Намуна: Биёед лимити функсияро дар зер пайдо кунем.

ҳал

1. Аввалан, рақами 1-ро ба функсия иваз мекунем, ки ба он "X". Мо номуайянии шаклеро, ки мо баррасӣ мекунем, ба даст меорем.

2. Минбаъд шумора ва махрачро ба омилхо таксим мекунем. Барои ин, шумо метавонед формулаҳои кӯтоҳшудаи зарбиро истифода баред, агар онҳо мувофиқ бошанд ё.

Дар мо решаҳои ифода дар ҳисобкунак (2x² – 5х + 3 = 0) рақамҳои 1 ва 1,5 мебошанд. Аз ин рӯ, онро метавон чунин муаррифӣ кард: 2(х-1)(х-1,5).

Маҳраҷ (x–1) аввал содда аст.

3. Мо чунин маҳдудияти тағирёфтаро мегирем:

4. Касрро бо () кам кардан мумкин аст.x–1):

5. Фақат ба ҷои рақами 1 дар ифодаи зери маҳдудият гирифташуда боқӣ мемонад: