Теоремаи хурди Ферма

Дар ин нашрия мо яке аз теоремаҳои асосии назарияи ададҳои бутунро баррасӣ хоҳем кард -  Теоремаи хурди Фермаба номи математики француз Пьер де Ферма гузошта шудааст. Мо инчунин мисоли ҳалли масъаларо барои таҳкими маводи пешниҳодшуда таҳлил мекунем.

Изҳороти теорема

1. Аввалин

If p адади аввала аст a адади бутун аст, ки ба он таксим намешавад pбаъд a^p-1 - 1 тақсим карда шудааст p.

Он ба таври расмӣ чунин навишта шудааст: a^p-1 ≡ 1 (зидди p).

Шарҳ: Рақами ибтидоӣ адади табиӣ мебошад, ки танҳо ба XNUMX ва худ бе боқимонда тақсим мешавад.

Барои намуна:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• шумора 15 тақсим карда шудааст 5 бе боқимонда.

2. Алтернативӣ

If p рақами аввал аст, a ҳар як адад, пас a^p муқоисашаванда бо a модуло p.

a^p ≡ а (зидди p)

Таърихи пайдо кардани далелҳо

Пьер де Ферма теоремаро соли 1640 тартиб дод, вале худаш онро исбот накард. Баъдтар, ин корро Готфрид Вилҳелм Лейбниц, файласуф, мантиқшинос, риёзидон ва ғайраҳои олмонӣ анҷом дод. Гумон меравад, ки ӯ аллакай то соли 1683 далел доштааст, гарчанде ки он ҳеҷ гоҳ нашр нашудааст. Чолиби диккат аст, ки Лейбниц теоремаро худаш кашф карда буд, зеро намедонист, ки он пештар тартиб дода шуда буд.

Аввалин далели теорема соли 1736 нашр шуда буд ва он ба швейтсарӣ, олмонӣ ва математик ва механик Леонхард Эйлер тааллуқ дорад. Теоремаи хурди Ферма як ҳолати махсуси теоремаи Эйлер мебошад.

Намунаи мушкилот

Боқимондаи ададро ёбед 2¹² on 12.

ҳал

Биёед як рақамро тасаввур кунем 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 адади ибтидоӣ аст, бинобар ин, аз рӯи теоремаи хурди Ферма, мо ба даст меорем:

2¹¹ ≡ 2 (зидди 11).

Аз ин рӯ, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (зидди 11).

Пас, рақам 2¹² тақсим карда шудааст 12 бо боқимонда баробар аст 4.